Mecânica IV · Episódio 3

A torre que inclina há quase 850 anos e não cai

Centro de gravidade e tombamento

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 31 / 20

O caso

Torre de Pisa em escala, inclinada 3,97° com o topo fora da vertical

1173: fundações · 1178: começa a afundar de um lado
14 700 t · 55,86 m · base de 15,5 m · fundação de só 3 m
1990: 5,5° e portões fechados
1993–2001: de solo retirados → volta 45 cm · hoje 3,97°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 32 / 20

O caso

1173: fundações · 1178: começa a afundar de um lado
14 700 t · 55,86 m · base de 15,5 m · fundação de só 3 m
1990: 5,5° e portões fechados
1993–2001: de solo retirados → volta 45 cm · hoje 3,97°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 32 / 20

O caso

1173: fundações · 1178: começa a afundar de um lado
14 700 t · 55,86 m · base de 15,5 m · fundação de só 3 m
1990: 5,5° e portões fechados
1993–2001: de solo retirados → volta 45 cm · hoje 3,97°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 32 / 20

O caso

1173: fundações · 1178: começa a afundar de um lado
14 700 t · 55,86 m · base de 15,5 m · fundação de só 3 m
1990: 5,5° e portões fechados
1993–2001: de solo retirados → volta 45 cm · hoje 3,97°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 32 / 20

Pergunta do episódio

Torta há séculos: o que a mantém de pé — e o que de fato a ameaça?

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 33 / 20

Conceito 1 — Centro de gravidade

Barra leve com 6 kg e 2 kg e o CG perto da esfera pesada

CG: ponto onde age o peso total
posição: média ponderada pelos pesos (ou massas)
corpo simétrico: centro geométrico · pode cair fora do corpo

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 34 / 20

Conceito 1 — Centro de gravidade

CG: ponto onde age o peso total
posição: média ponderada pelos pesos (ou massas)
corpo simétrico: centro geométrico · pode cair fora do corpo

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 34 / 20

Conceito 1 — Centro de gravidade

CG: ponto onde age o peso total
posição: média ponderada pelos pesos (ou massas)
corpo simétrico: centro geométrico · pode cair fora do corpo

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 34 / 20

Exemplo resolvido — duas esferas

Barra leve de 1 m · 6 kg numa ponta, 2 kg na outra

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

da esfera de 6 kg

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 35 / 20

Exemplo resolvido — duas esferas

Barra leve de 1 m · 6 kg numa ponta, 2 kg na outra

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

da esfera de 6 kg

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 35 / 20

Exemplo resolvido — duas esferas

Barra leve de 1 m · 6 kg numa ponta, 2 kg na outra

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

da esfera de 6 kg

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 35 / 20

Conceito 2 — Base de apoio

Bases vistas de cima: mesa, pessoa e torre

polígono convexo em volta de todos os contatos
inclui o chão vazio entre os pés
normal total igual ao peso, distribuída · só age dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 36 / 20

Conceito 2 — Base de apoio

polígono convexo em volta de todos os contatos
inclui o chão vazio entre os pés
normal total igual ao peso, distribuída · só age dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 36 / 20

Conceito 2 — Base de apoio

polígono convexo em volta de todos os contatos
inclui o chão vazio entre os pés
normal total igual ao peso, distribuída · só age dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 36 / 20

Exemplo resolvido — a base da mesa

Mesa com pés nos cantos de um retângulo de 0,8 m por 1,2 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

o meio sem pés também conta

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 37 / 20

Exemplo resolvido — a base da mesa

Mesa com pés nos cantos de um retângulo de 0,8 m por 1,2 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

o meio sem pés também conta

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 37 / 20

Exemplo resolvido — a base da mesa

Mesa com pés nos cantos de um retângulo de 0,8 m por 1,2 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

o meio sem pés também conta

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 37 / 20

Conceito 3 — Tombamento

Bloco inclinado a 10°, 22° e 35°: volta, limite, tomba

Bandeja na palma: fica com o copo no meio, cai com o copo na ponta

polo na borda · vertical do CG decide
dentro: volta · na borda: limite · fora: tomba
limite (tombar não é escorregar):

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 38 / 20

Conceito 3 — Tombamento

polo na borda · vertical do CG decide
dentro: volta · na borda: limite · fora: tomba
limite (tombar não é escorregar):

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 38 / 20

Conceito 3 — Tombamento

polo na borda · vertical do CG decide
dentro: volta · na borda: limite · fora: tomba
limite (tombar não é escorregar):

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 38 / 20

Exemplo resolvido — bloco na prancha

Bloco na prancha a 22°, linha do peso na borda de baixo

Bloco de 0,4 m por 1,0 m, CG no centro · atrito segura

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

bloco de 0,6 m: → cerca de 31°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 39 / 20

Exemplo resolvido — bloco na prancha

Bloco de 0,4 m por 1,0 m, CG no centro · atrito segura

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

bloco de 0,6 m: → cerca de 31°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 39 / 20

Exemplo resolvido — bloco na prancha

Bloco de 0,4 m por 1,0 m, CG no centro · atrito segura

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

bloco de 0,6 m: → cerca de 31°

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 39 / 20

Conceito 4 — A torre em números

Torre com o CG a 28 m e a linha do peso a 1,9 m do centro da base

modelo: cilindro uniforme · CG a 28 m (estimativa)
desvio do CG: · raio da base: cerca de 7,7 m
rígido: limite perto de 15° · real: solo e pedra cedem antes

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 310 / 20

Conceito 4 — A torre em números

modelo: cilindro uniforme · CG a 28 m (estimativa)
desvio do CG: · raio da base: cerca de 7,7 m
rígido: limite perto de 15° · real: solo e pedra cedem antes

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 310 / 20

Conceito 4 — A torre em números

modelo: cilindro uniforme · CG a 28 m (estimativa)
desvio do CG: · raio da base: cerca de 7,7 m
rígido: limite perto de 15° · real: solo e pedra cedem antes

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 310 / 20

Exemplo resolvido — o desvio do CG

CG a 28 m · hoje a 3,97° · em 1990 a 5,5°

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

ambos dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 311 / 20

Exemplo resolvido — o desvio do CG

CG a 28 m · hoje a 3,97° · em 1990 a 5,5°

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

ambos dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 311 / 20

Exemplo resolvido — o desvio do CG

CG a 28 m · hoje a 3,97° · em 1990 a 5,5°

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

ambos dentro da base

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 311 / 20

Exemplo resolvido — ângulo-limite e topo

Raio 7,7 m · CG a 28 m · topo a 55,9 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

topo fora da vertical, hoje

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 312 / 20

Exemplo resolvido — ângulo-limite e topo

Raio 7,7 m · CG a 28 m · topo a 55,9 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

topo fora da vertical, hoje

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 312 / 20

Exemplo resolvido — ângulo-limite e topo

Raio 7,7 m · CG a 28 m · topo a 55,9 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

topo fora da vertical, hoje

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 312 / 20

Conceito 5 — Estabilidade

Carro baixo e caminhão alto, com os ângulos-limite

Esfera na tigela, no topo da calota e no plano

estável: CG baixo + base larga · a massa não entra
afastar e soltar: CG sobe → estável · desce → instável
CG na mesma altura → indiferente

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 313 / 20

Conceito 5 — Estabilidade

estável: CG baixo + base larga · a massa não entra
afastar e soltar: CG sobe → estável · desce → instável
CG na mesma altura → indiferente

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 313 / 20

Conceito 5 — Estabilidade

estável: CG baixo + base larga · a massa não entra
afastar e soltar: CG sobe → estável · desce → instável
CG na mesma altura → indiferente

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 313 / 20

Exemplo resolvido — carro × caminhão

Carro: 1,8 m entre rodas, CG a 0,5 m · caminhão: 2,5 m, CG a 2,0 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 314 / 20

Exemplo resolvido — carro × caminhão

Carro: 1,8 m entre rodas, CG a 0,5 m · caminhão: 2,5 m, CG a 2,0 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 314 / 20

Exemplo resolvido — carro × caminhão

Carro: 1,8 m entre rodas, CG a 0,5 m · caminhão: 2,5 m, CG a 2,0 m

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 314 / 20

Conceito 6 — O perigo é o chão

Fundação rasa em solo mole e a pressão desenhada como barra

pressão é escalar: barra, não seta
lado mais carregado afunda mais → inclina mais
base larga e funda: menos pressão (cap. 4)

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 315 / 20

Conceito 6 — O perigo é o chão

pressão é escalar: barra, não seta
lado mais carregado afunda mais → inclina mais
base larga e funda: menos pressão (cap. 4)

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 315 / 20

Conceito 6 — O perigo é o chão

pressão é escalar: barra, não seta
lado mais carregado afunda mais → inclina mais
base larga e funda: menos pressão (cap. 4)

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 315 / 20

Exemplo resolvido — pressão no solo

14 700 t · base de 15,48 m de diâmetro (raio de cerca de 7,74 m) ·

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 8 atm

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 316 / 20

Exemplo resolvido — pressão no solo

14 700 t · base de 15,48 m de diâmetro (raio de cerca de 7,74 m) ·

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 8 atm

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 316 / 20

Exemplo resolvido — pressão no solo

14 700 t · base de 15,48 m de diâmetro (raio de cerca de 7,74 m) ·

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 8 atm

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 316 / 20

Radar ENEM

Caminhão na curva: atrito no chão, normais e o CG alto

✗ "tomba porque é pesado"
✗ largura ou altura inteiras na tangente
✗ desvio do topo no lugar do desvio do CG
✗ limite do modelo rígido lido como realidade
✓ curva: tomba se

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 317 / 20

Radar ENEM

✗ "tomba porque é pesado"
✗ largura ou altura inteiras na tangente
✗ desvio do topo no lugar do desvio do CG
✗ limite do modelo rígido lido como realidade
✓ curva: tomba se

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 317 / 20

Radar ENEM

✗ "tomba porque é pesado"
✗ largura ou altura inteiras na tangente
✗ desvio do topo no lugar do desvio do CG
✗ limite do modelo rígido lido como realidade
✓ curva: tomba se

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 317 / 20

Radar ENEM

✗ "tomba porque é pesado"
✗ largura ou altura inteiras na tangente
✗ desvio do topo no lugar do desvio do CG
✗ limite do modelo rígido lido como realidade
✓ curva: tomba se

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 317 / 20

Radar ENEM

✗ "tomba porque é pesado"
✗ largura ou altura inteiras na tangente
✗ desvio do topo no lugar do desvio do CG
✗ limite do modelo rígido lido como realidade
✓ curva: tomba se

Professor Canário · Mecânica IV · Episódio 317 / 20

Resumo em cinco peças